\documentclass[spanish,a4paper]{article}

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\author{G. Sebasti\'an Pedersen \\
\small{\texttt{(sebasped@gmail.com)}}
}
\title{Aproximaciones mediante recta tangente, diferencial y polinomio de Taylor}
\date{\small\textsf{Versi\'on 1: abril de 2011}}

\begin{document}
\maketitle



\paragraph{Ejercicio:} Usar $f(x)=\sqrt{4+x}$ para:


\begin{enumerate}[(a)]

\item{Aproximar $\sqrt{4,\!1}$ mediante una recta tangente conveniente.}
\item{Aproximar $\sqrt{3,\!9}$ mediante un diferencial conveniente.}
\item{Aproximar $\sqrt{4,\!1}$ mediante un polinomio de Taylor de orden 2 conveniente.}

\end{enumerate}

\paragraph{a) Aproximaci\'on mediante recta tengente}  Lo que vamos a usar es que $$f(x) \simeq Y_T (x) \quad \text{si} \quad x \simeq x_0$$ Y recordemos que la recta tangente a $f$ en $x_0$ era: $$Y_T (x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

Queremos aproximar $\sqrt{4,\!1}$, es decir buscamos un $x$ para usar que: 
\begin{align*}
\sqrt{4,\!1}=f(x) & \simeq Y_T (x) \\
\sqrt{4,\!1}=\sqrt{4+x} & \simeq Y_T (x)
\end{align*}
O sea que $4,\!1=4+x$, es decir que, despejando, nos sirve $x=0,\!1$. Adem'as como debe ser $x\simeq x_0$ y debo elegir $x_0$ de forma que $f(x_0)$ me quede una cuenta ``exacta'', elijo $x_0=0$ pues $f(0)=\sqrt{4+0}=2$. Resumiendo, tenemos que: 
\begin{align*}
\sqrt{4,\!1}=f(0,\!1) &\simeq Y_T (0,\!1) \qquad \text{con} \qquad x_0=0 \\
\sqrt{4,\!1} &\simeq Y_T (0,\!1) \qquad \text{con} \qquad x_0=0 
\end{align*}
Ahora solamente nos falta calcular $Y_T (0,\!1)$: 
\begin{align*}
Y_T (x) &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \\
Y_T (x) &=f(0)+f'(0)(x-0) \qquad \text{pues $x_0=0$}\\
Y_T (x) &=f(0)+f'(0)x
\end{align*}
$f(0)=\sqrt{4+0}=2$, y como $f(x)=\sqrt{4+x}=(4+x)^\frac{1}{2}$ entonces $f'(x)=\frac{1}{2}(4+x)^{-\frac{1}{2}}$, y luego $f'(0)=\frac{1}{2}4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$. Entonces:
\begin{align*}
Y_T (x) &=f(0)+f'(0)x \\
Y_T (x) &=2+\frac{1}{4}x
\end{align*}
Entonces finalmente la aproximaci\'on nos queda:
\begin{align*}
\sqrt{4,\!1} &\simeq Y_T (0,\!1) \\
\sqrt{4,\!1} &\simeq 2+\frac{1}{4}0,\!1\\
\sqrt{4,\!1} &\simeq \frac{81}{40}
\end{align*}

\emph{Respuesta:} \fbox{$\sqrt{4,\!1} \simeq \frac{81}{40}$}



\paragraph{b) Aproximaci\'on mediante diferencial}  Lo que vamos a usar es que $$f(x) \simeq f(x_0) + df \quad \text{si} \quad x \simeq x_0$$ Y recordemos que el diferencial a $f$ en $x_0$ era: $$df=f'(x_0)\Delta x \qquad \text{con} \; \Delta x=x-x_0$$

Queremos aproximar $\sqrt{3,\!9}$, es decir buscamos un $x$ para usar que: 
\begin{align*}
\sqrt{3,\!9}=f(x) & \simeq f(x_0) + df \\
\sqrt{3,\!9}=\sqrt{4+x} & \simeq f(x_0) + df
\end{align*}
O sea que $3,\!9=4+x$, es decir que, despejando, nos sirve $x=-0,\!1$. Adem'as como debe ser $x\simeq x_0$ y debo elegir $x_0$ de forma que $f(x_0)$ me quede una cuenta ``exacta'', elijo $x_0=0$ pues $f(0)=\sqrt{4+0}=2$. Resumiendo, tenemos que: 
\begin{align*}
\sqrt{3,\!9}=f(-0,\!1) &\simeq f(x_0) + df \\
\sqrt{3,\!9} &\simeq f(0)+df
\end{align*}
Ahora solamente nos falta calcular $df$: 
\begin{align*}
df &=f'(x_0)\Delta x \\
df &= f'(0)(x-x_0)\\
df &=f'(0)(-0,\!1-0)\\
df &= f'(0)(-0,\!1)
\end{align*}
$f'(0)$ se calcula exactamente igual que en el punto {\bf a)}. Nos di\'o $f'(0)=\frac{1}{4}$. Entonces:
\begin{align*}
df &= f'(0)(-0,\!1)\\
df &= \frac{1}{4}(-0,\!1) \\
df &= -\frac{1}{40} 
\end{align*}
Entonces finalmente la aproximaci\'on nos queda:
\begin{align*}
\sqrt{3,\!9} &\simeq f(0)+df\\
\sqrt{3,\!9} &\simeq 2-\frac{1}{40}\\
\sqrt{3,\!9} &\simeq \frac{79}{40}
\end{align*}

\emph{Respuesta:} \fbox{$\sqrt{3,\!9} \simeq \frac{79}{40}$}




\paragraph{c) Aproximaci\'on mediante polinomio de Taylor}  Lo que vamos a usar es que $$f(x) \simeq P_2 (x) \quad \text{si} \quad x \simeq x_0$$ Y recordemos que el polinomio de Taylor de orden 2 a $f$ en $x_0$ era: $$P_2 (x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2$$

Queremos aproximar $\sqrt{4,\!1}$, es decir buscamos un $x$ para usar que: 
\begin{align*}
\sqrt{4,\!1}=f(x) & \simeq P_2 (x) \\
\sqrt{4,\!1}=\sqrt{4+x} & \simeq P_2 (x)
\end{align*}
O sea que $4,\!1=4+x$, es decir que, despejando, nos sirve $x=0,\!1$. Adem'as como debe ser $x\simeq x_0$ y debo elegir $x_0$ de forma que $f(x_0)$ me quede una cuenta ``exacta'', elijo $x_0=0$ pues $f(0)=\sqrt{4+0}=2$. Resumiendo, tenemos que: 
\begin{align*}
\sqrt{4,\!1}=f(0,\!1) &\simeq P_2 (0,\!1) \qquad \text{con} \qquad x_0=0 \\
\sqrt{4,\!1} &\simeq P_2 (0,\!1) \qquad \text{con} \qquad x_0=0 
\end{align*}
Ahora solamente nos falta calcular $P_2 (0,\!1)$: 
\begin{align*}
P_2 (x) &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 \\
P_2 (x) &=f(0)+f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2}(x-0)^2 \qquad \text{pues $x_0=0$}\\
P_2 (x) &=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2
\end{align*}
En el punto {\bf a)} ya calculamos que: $f(0)=2$, $f'(x)=\frac{1}{2}(4+x)^{-\frac{1}{2}}$ y $f'(0)=\frac{1}{4}$. Entonces $f''(x)=-\frac{1}{4}(4+x)^{-\frac{3}{2}}$,y luego $f''(0)=-\frac{1}{4}4^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{32}$. Entonces:
\begin{align*}
P_2 (x) &=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2\\
P_2 (x) &=2+\frac{1}{4}x-\frac{1/32}{2}x^2\\
P_2 (x) &=2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{64}x^2
\end{align*}
Entonces finalmente la aproximaci\'on nos queda:
\begin{align*}
\sqrt{4,\!1} &\simeq P_2 (0,\!1) \\
\sqrt{4,\!1} &\simeq 2+\frac{1}{4}0,\!1-\frac{1}{64}(0,\!1)^2\\
\sqrt{4,\!1} &\simeq \frac{81}{40}-\frac{1}{640}\\
\sqrt{4,\!1} &\simeq \frac{1295}{640}
\end{align*}

\emph{Respuesta:} \fbox{$\sqrt{4,\!1} \simeq \frac{1295}{640}$}





\end{document}

